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PID的數學模型

在工業應用中PID及其衍生算法是應用最廣泛的算法之一，是當之無愧的wanneng算法，如果能夠熟練掌握PID算法的設計與實現過程，對于一般的研發人員來講，應該是足夠應對一般研發問題了，而難能可貴的是，在很多控制算法當中，PID控制算法又是最簡單，最能體現反饋思想的控制算法，可謂經典中的經典。
經典的未必是復雜的，經典的東西常常是簡單的，是最簡單的。

PID算法的一般形式

PID算法通過誤差信號控制被控量，而控制器本身就是比例、積分、微分三個環節的加和。
這里我們規定（在t時刻）：

1.輸入量為

2.輸出量為

3.偏差量為 

PID算法的數字離散化

假設采樣間隔為T，則在第K個T時刻：

偏差= 

積分環節用加和的形式表示，即 

微分環節用斜率的形式表示，即

PID算法離散化后的式子： 

則可表示成為： 
其中式中：

比例參數：控制器的輸出與輸入偏差值成比例關系。
系統一旦出現偏差，比例調節立即產生調節作用以減少偏差。

特點：過程簡單快速、比例作用大，可以加快調節，減小誤差；使系統穩定性下降，造成不穩定，有余差。

積分參數：積分環節主要是用來消除靜差，所謂靜差，就是系統穩定后輸出值和設定值之間的差值，積分環節實際上就是偏差累計的過程，把累計的誤差加到原有系統上以抵消系統造成的靜差。

微分參數：微分信號則反應了偏差信號的變化規律，或者說是變化趨勢，根據偏差信號的變化趨勢來進行超前調節，從而增加了系統的快速性。

PID的基本離散表示形式如上。
目前的這種表述形式屬于位置型PID，一種表述方式為增量式PID，由上述表達式可以輕易得到：

那么：

上式就是離散化PID的增量式表示方式，由公式可以看出，增量式的表達結果和最近三次的偏差有關，這樣就大大提高了系統的穩定性。
需要注意的是最終的輸出結果應該為：輸出量 = + 增量調節值。